Los circuitos de CA imaginarios no son realmente complejos

Si alguna vez lee libros de texto o papeles avanzados sobre la electrónica, es posible que se haya sorprendido para ver el uso de números complejos utilizados en el análisis de los circuitos de CA. Un número complejo tiene dos partes: una parte real y una parte imaginaria. A menudo he pensado que muchos libros y clases son un poco de brillo sobre lo que esto realmente significa. ¿Qué parte de la energía eléctrica es imaginaria? ¿Por qué hacemos esto?

La respuesta corta es el ángulo de fase: el tiempo de retardo entre un voltaje y una corriente en un circuito. ¿Cómo puede un ángulo ser un tiempo? Eso es parte de lo que necesitaré para explicar.

Primero, considere una resistencia. Si aplica un voltaje a él, una cierta corriente fluirá que puede identificar la ley de Ohm. Si conoce el voltaje inmediato a través de la resistencia, puede derivar la corriente y puede encontrar la potencia, la cantidad de trabajo que hará la energía eléctrica. Eso está bien para la corriente de CC a través de las resistencias. Pero los componentes como los condensadores e inductores con una corriente de CA no obedecen la ley de Ohm. Tomar un condensador La corriente solo fluye cuando el condensador está cargando o descarga, por lo que la corriente a través de él se refiere a la tasa de cambio del voltaje, no el nivel de voltaje inmediato.

Eso implica que si trazó la tensión de la onda sinusoidal contra la corriente, la parte superior del voltaje será donde la corriente sea mínima, y ​​la corriente superior será donde el voltaje esté en cero. Puede ver que en esta imagen, donde la onda amarilla es voltaje (V) y la onda verde es actual (i). ¿Ves cómo la parte superior verde es donde la curva amarilla cruza cero? ¿Y la parte superior amarilla es donde la curva verde cruza cero?

Estas ondas sinusoidales y cosidas vinculadas pueden recordarle algo: las coordenadas X e Y de un punto se barren alrededor de un círculo a una tasa constante, y esa es nuestra conexión con números complejos. Al final de la publicación, verás que no es tan complicado y la cantidad “imaginaria” no es imaginaria.

Simplificando suposiciones

Comience con una señal de audio de alguien que habla y alimente eso en su circuito. Está lleno de frecuencias diferentes que cambian constantemente. Si tuvo un circuito con solo resistencias, puede elegir un punto en el tiempo, encontrar todos los componentes de frecuencia presentes o la amplitud inmediata, derive las corrientes inmediatas, y usted podría usar técnicas convencionales. Solo tendrías que hacerlo una y otra vez. Si el circuito involucra inductores o condensadores, cuyo comportamiento depende de mucho más que solo el voltaje en ellas, esto se vuelve muy desafiante muy rápidamente.

En su lugar, es más sencillo comenzar con una onda sinusoidal a una sola frecuencia y suponer que una señal compleja de numerosas frecuencias diferentes es solo la suma de numerosos senos individuales. Una forma de pensar en un condensador es considerarlo una resistencia que tiene una mayor resistencia a las frecuencias más bajas. Un inductor actúa como una resistencia que se hace más grande a frecuencias más altas. Debido a que solo estamos considerando una frecuencia única, podemos convertir cualquier función de capacitancia e inductancia a una impedancia: una resistencia que solo es buena con la frecuencia de interés. Lo que es mucho más es que podemos representar la impedancia como un número complejo para que podamos seguir el ángulo de fase del circuito, que se refiere directamente a un retraso en el tiempo particular entre el voltaje y la corriente.

Para una resistencia verdadera, la parte imaginaria es 0. Eso tiene sentido porque la tensión y la corriente se encuentran en fase y, por esa razón, no hay un retraso en el tiempo. Para un condensador o inductor puro, la parte real es cero. Los circuitos reales tendrán combinaciones y, por lo tanto, tendrán una combinación de partes reales e imaginarias. Los números así son números complejos y puedes escribirlos de varias maneras diferentes.

Revisión compleja

Lo primero que debe recordar es que la palabra imaginaria es solo un término arbitrario. Tal vez sea mejor olvidar el implicación normal de la palabra imaginaria. Estas cantidades imaginarias no son algún tipo de electricidad o resistencia mágica. Utilizamos números imaginarios para representar retrasos en los circuitos. Eso es todo.

Hay una larga historia sobre lo que los números imaginarios implican en matemáticas puras y por qué se llaman imaginarios. Puedes buscarlo si eres una cabeza de matemáticas, pero debería saber que los libros de matemáticas usan el símbolo I para la parte imaginaria de un número complejo. Sin embargo, debido a que los ingenieros eléctricos usan I para la corriente, usamos J en su lugar. Solo tienes que recordar al leer libros de matemáticas, verás I y no es una corriente, y es lo mismo que J en libros eléctricos.

Hay varias formas de representar un número complejo. La forma más sencilla es escribir la parte real y la parte imaginaria que se agrega junto con J. Así que considera esto:

5 + 3j

Decimos que la parte real es 5 y la parte imaginaria es 3. Los números escritos en este formato están en formato rectangular. Puedes trazarlo en las líneas numéricas como esta:

Eso lleva a la segunda forma de escribir un número complejo: notación polar. Si el punto en el gráfico es 5 + 3J, puede notar que un vector puede representar el SAPunto. Tendrá una longitud o magnitud y un ángulo (el ángulo que hace con el eje x del gráfico). En este caso, la magnitud es de 5.83 (aproximadamente) y el ángulo es solo un poco menos de 31 grados.

Esto es interesante porque es un vector y hay muchas herramientas de matemáticas buenas para manipular los vectores. Se va a ser realmente esencial en un minuto porque el ángulo puede corresponder a un ángulo de fase en un circuito y la magnitud también tiene una relación física directa.

Ángulo de fase

¿Recuerdas que dije que hacemos un análisis de CA a una sola frecuencia? Si trazó el voltaje de CA a través y la corriente que pasa por una resistencia a cierta frecuencia, las dos ondas sinusoidees se alinearán exactamente. Esto se debe a que una resistencia no retrasa nada. Decimos que el ángulo de fase a través de la resistencia es de cero grados.

Sin embargo, para un condensador, la corriente parece aumentar antes de la tensión en cierta cantidad de tiempo. Esto tiene sentido si piensa en su intuición sobre los condensadores en DC. Cuando se descarga un condensador, no tiene voltaje a través de él, pero consumirá mucha corriente: se parece temporalmente a un cortocircuito. A medida que se acumula la carga, el voltaje se eleva, pero la corriente cae, hasta que el condensador esté completamente cargado. En ese momento, el voltaje está en un máximo, pero la corriente es cero, o casi así.

Los inductores tienen la disposición opuesta: el voltaje conduce a la corriente, por lo que las curvas se verían igual, pero la curva V ahora es la I y la curva i ahora la V. Puedes recordar que con el Easy Mnemonic Eli The Ice Man, donde E es Voltaje al igual que en la ley de Ohm. Cuando habla sobre el cambio de fase en un circuito, realmente implica cuánto lleva la corriente o retrasa el voltaje en una frecuencia dada. Esa es una idea esencial: el cambio o el ángulo de la fase es la cantidad de tiempo que la corriente lleva o retrasa el voltaje. También puede medir la fase entre otras cosas como dos fuentes de voltaje diferentes, pero típicamente cuando dice “Este circuito tiene un cambio de fase de 22 grados”, implica el voltaje con el retraso de la hora actual.

Tenga en cuenta que una ola sinusoidal es como un círculo doblado para adaptarse a una línea. Entonces, si el inicio de la onda sinusoidal está a 0 grados, la parte superior de la parte superior positiva es de 90 grados. El segundo 0 cruce es de 180 grados, y la parte superior negativa es de 270 grados, al igual que los puntos en un círculo. Debido a que la onda sinusoidal está a una frecuencia fija, poner algo en una marca de grado particular es lo mismo que expresar un tiempo.

En el caso de una resistencia, el cambio es de 0 grados. Por lo tanto, en la notación compleja, una resistencia de 100 ohmios es 100 + 0J. También puede ser 10000. Para un condensador, la corriente se eleva antes de la tensión en 90 grados, por lo que un condensador tiene un cambio de fase de -90. Pero, ¿cuál es la magnitud?

Probablemente se enteró de que la reactancia capacitiva es igual a 1 / (2πFC) donde F es la frecuencia en Hz. Esa es la magnitud de la forma polar. Por supuesto, debido a que -90 grados es recto por la línea numérica, también es la parte imaginaria de la forma rectangular (y la parte real es cero). Si la reactancia capacitiva (XC) es igual a 50, por ejemplo, entonces podría escribir 0-50J o 50∠-90. Los inductores funcionan iguales, pero la reactancia (XL) es 2πFL y el ángulo de fase es de 90 grados. Por lo tanto, un inductor con la misma reactancia sería 0 + 50J o 50∠90.

Encontrando el poder

Veamos un ejemplo rápido de lo que estos ángulos de fase son buenos para: calcular el poder. Usted sabe que la potencia es la corriente de voltaje. Entonces, si un condensador tiene 1 V a través de él (pico) y dibuja 1 A a través de él (pico), ¿es el poder 1 vatio? No, porque no dibuja 1 v a 1 A al mismo tiempo.

Considere esta simulación (consulte la figura a la derecha). Puede ver las huellas a la muestra izquierda, el cambio de fase de 90 grados muy claramente (la traza verde es el voltaje y el amarillo es actual). El voltaje superior es de 1.85 V y los picos actuales a aproximadamente 4.65 mA. El producto de los tiempos de voltaje La corriente es de 8,6 MW. Pero esa no es la mejor respuesta. El poder es en realidad 4.29 MW (consulte el gráfico a la derecha). En un condensador ideal, el poder no se consume. Está almacenado y liberado, por lo que la potencia va negativa. Los condensadores reales, por supuesto, exhiben cierta pérdida.

Tenga en cuenta que la fuente de alimentación no ofrece 4.29 MW, pero mucho menos. Eso es porque la resistencia es lo único que consume el poder. El voltaje y la corriente se encuentran en fase para ella y parte de la potencia que disipa se encuentra desde la carga almacenada del condensador.

Circuitos

La magnitud del vector es utilizable en la ley de Ohm. Por ejemplo, a 40 Hz, el XC del circuito de ejemplo es de menos de 400 ohmios. Por lo tanto, la impedancia total compleja para el circuito RC es 1000 – 400J.

Si es adepto con vectores, podría hacer polar escribiendo 1000∠0 + 400∠-90. Sin embargo, normalmente es más sencillo escribir la versión rectangular y convertirlo a Polar (Wolfram Alpha es bueno en eso; solo recuerda usar i en lugar de j). La magnitud es solo el teorema de Pitágoras y el ángulo es fácil de TRIG. No voy a entrar en él, pero aquí está la fórmula donde R y J son las partes reales e imaginarias, respectivamente.

mag = sqrt (r^ 2 + j ^ 2)
fase = arctan (j / r)

Nuestro ejemplo, entonces, es 1077∠-21.8.

Entonces, ¿cuál es el poder que sale de la fuente de voltaje? El poder es e ^ 2 / r (o, en realidad, e ^ 2 / z en este caso). Así que 25/1077 = 23 MW Peak. La simulación muestra 22.29 y porque redondeé algunos valores, eso está lo suficientemente cerca.

¿Eso es todo?

Eso no es así, por supuesto, pero es todo lo que necesitas saber por muchos propósitos. Numerosos textos electrónicos de nivel de afición escatiman los detalles y solo trabajan con magnitudes. Para los circuitos fáciles, esto puede funcionar, pero para algo complejo (sin juego de palabras), se vuelve peludo.

Por cierto, este ejemplo mostró elementos en serie. Sin embargo, puede agregar reactancias en paralelo al igual que haces resistencias en paralelo.

Los conceptos esenciales que necesitas recordar son:

El análisis de un circuito de CA ocurre principalmente a una sola frecuencia con una entrada de onda sinusoidal.

Los números imaginarios no son imaginarios.

Las magnitudes de los números complejos en formas polares se pueden tratar como una resistencia.

El ángulo de fase es el retardo de tiempo entre el voltaje y la forma de onda actual.

Hay muchos detalles en los que glosa. Probablemente no necesite saber cómo soy realmente la raíz cuadrada de uno negativo. O cómo el número de Euler juega en esta y la simplicidad de integrar y diferenciar las ondas sinusoidales escritas con una amplitud y un ángulo de fase. Si está interesado en la historia de matemáticas, los números imaginarios tienen una historia detrás de ellos. Si quieres algo mucho más práctico, Khan Academy tiene algunos videos útiles. Sin embargo, lo que está cubierto aquí debería ser todo lo que necesita saber para trabajar con los circuitos de CA.